Algebra

Wiadomości z matematyki ze szkoły średniej

Godziny kontaktowe (z udziałem nauczyciela akademickiego)

Wykład 30

Konwersatorium 30

Konsultacje 15

Łączna liczba godzin z udziałem nauczyciela akademickiego 75

Liczba punktów ECTS z udziałem nauczyciela akademickiego 3

Godziny nie kontaktowe (praca własna studenta)

Przygotowanie się do konwersatorium 30

Studiowanie literatury 15

Przygotowanie się do egzaminu 30

Łączna liczba godzin nie kontaktowych 75

Liczba punktów ECTS za godziny nie kontaktowe 3

Sumaryczna liczba punktów ECTS dla modułu 6

Kolokwia, odpowiedzi ustne: W1-8, U1-6

Egzamin końcowy: W1-8, U1-6

Wykład ma za zadanie zapoznanie studentów z podstawowymi strukturami algebraicznymi i ich własnościami, takim, jak:

1. Grupy, homomorfizmy grup, podstawowe twierdzenie o homomorfizmie grup, twierdzenie Lagrange'a, podgrupy normalne i grupy ilorazowe.

2. Podstawowe typy grup: grupy abelowe, grupy cykliczne, grupy proste.

3. Sumy proste grup, struktura skończonych grup abelowych.

4. Grupy przekształceń, twierdzenie Cayleya.

5. Pierścienie i ciała, ich homomorfizmy, ideały, ideały pierwsze i maksymalne. Pierścienie ilorazowe: podstawowe własności i przykłady, związki z teorią liczb.

6.Teoria podzielności w pierścieniach całkowitych: elementy pierwsze, elementy nierozkładalne, pierścienie Gaussa, pierścienie

euklidesowe.

7. Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność elementów pierścienia, algorytm Euklidesa i jego zastosowanie do rozwiązywania równań diofantycznych.

8. Funkcja Eulera, twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata.

9. Pierścień wielomianów. Ciało ułamków. Kryteria nierozkładalności wielomianów.

10. Rozszerzenia ciał. Ciała algebraicznie domknięte.

Konwersatorium poświęcone jest rozwiązywaniu zadań, związanych z wykładem.

1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 1971.

2. J. Browkin , Wybrane zagadnienia algebry, PWN, Warszawa 1970.

3. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1985.

4. A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, PWN, Warszawa 1984.

5. K. W. Nicholson, W. J. Gilbert, Algebra współczesna z zastosowaniami, PWN, Warszawa 2013.

6. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa 2000.

7. Z. Opial, Algebra, PWN, Warszawa 1975.

8. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa 1989.

Wiedza:

W1 Student zna podstawowe struktury algebraiczne - K_W03.

W2 Student zna pojęcie rzędu elementu i jego znaczenie dla grup cyklicznych - K_W02, - K_W03.

W3 Student zna najważniejsze przykłady grup, w tym grupy przekształceń, grupy permutacji, grupy reszt modulo - K_W05.

W4 Student zna konstrukcję grup i pierścieni ilorazowych - K_W03

W5 Student zna podstawowe twierdzenia o homomorfizmie grup i pierścieni - K_W04.

W6 Student zna elementarne pojęcia teorii podzielności w pierścieniach - K_W04.

W7 Student zna konstrukcję pierścienia wielomianów. Zna podstawowe twierdzenia występujące w tej teorii - K_W03, - K_W04

W8 Student zna pojęcie ciała algebraicznie domknietego - K_W04, - K_W03.

Umiejętności

U1 Student potrafi rozróżnić struktury algebraiczne- K_U01.

U2 Student potrafi obliczyć rząd elementu w wybranych grupach - K_U01.

U3 Student potrafi wykazać izomorfizm wybranych struktur algebraicznych - K_U05.

U3 Student odróżnia elementy nierozkładalne i elementu pierwsze - K_U01.

U4 Student potrafi znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólną wielokrotność elementów w wybranych pierścieniach - K_U017.

U5 Student potrafi zastosować algorytm dzielenia z reszta, schemat Hornera, obliczyć pochodna wielomianu - K_U017.

U6 Student potrafi wskazać przykłady ciał algebraicznie domkniętych - K_U017.

Kompetencje społeczne

K1 Student ma świadomość ograniczenia poziomu swojej wiedzy i umiejętności, rozumie potrzebę ciągłego dokształcania się zawodowego i rozwoju osobistego, dokonuje samooceny własnych kompetencji i doskonali umiejętności, wyznacza kierunki własnego rozwoju i kształcenia - K_K01

K2 Student potrafi precyzyjnie formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania - K_K02

K3 Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień z zakresu algebry - K_K07